cac quy tac tinh dao ham

© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com

CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

1. Đạo Hàm Của Tổng, Hiệu, Tích, Thương

Cho $u = u(x)$ và $v = v(x)$ là các hàm số có đạo hàm tại điểm $x$ thuộc khoảng xác định. Ta có:

• Quy tắc cộng: $(u + v)' = u' + v'$
• Quy tắc trừ: $(u - v)' = u' - v'$
• Quy tắc nhân: $(uv)' = u'v + uv'$
• Quy tắc nhân với hằng số: $(ku)' = k \cdot u'$ ($k$ là hằng số)
• Quy tắc thương: $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ ($v(x) \ne 0$)
• Hệ quả (đạo hàm hàm nghịch đảo): $\left( \frac{1}{v} \right)' = -\frac{v'}{v^2}$ ($v(x) \ne 0$)

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 7$

b) $y = (x^2 - 1)(3x + 2)$

c) $y = \frac{2x - 3}{x + 1}$

Lời giải:

a) Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng và hiệu:

$y' = (2x^3)' - (5x^2)' + (4x)' - (7)' = 2 \cdot 3x^2 - 5 \cdot 2x + 4 - 0 = 6x^2 - 10x + 4$.

---

b) Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích $(uv)' = u'v + uv'$:

Với $u = x^2 - 1 \Rightarrow u' = 2x$ và $v = 3x + 2 \Rightarrow v' = 3$.

$y' = (2x)(3x + 2) + (x^2 - 1)(3) = 6x^2 + 4x + 3x^2 - 3 = 9x^2 + 4x - 3$.

---

c) Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

Với $u = 2x - 3 \Rightarrow u' = 2$ và $v = x + 1 \Rightarrow v' = 1$.

$y' = \frac{2(x + 1) - (2x - 3) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x + 3}{(x + 1)^2} = \frac{5}{(x + 1)^2}$.

2. Đạo Hàm Của Hàm Hợp

Định lý: Nếu hàm số $u = g(x)$ có đạo hàm tại $x$ là $u'_x$ và hàm số $y = f(u)$ có đạo hàm tại $u$ là $y'_u$ thì hàm số hợp $y = f(g(x))$ có đạo hàm tại $x$ là:

$$ y'_x = y'_u \cdot u'_x $$

Các công thức đạo hàm hàm hợp thường gặp:

• $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$
• $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$
• $(\sin u)' = u' \cdot \cos u$
• $(\cos u)' = -u' \cdot \sin u$
• $(\tan u)' = \frac{u'}{\cos^2 u}$
• $(\cot u)' = -\frac{u'}{\sin^2 u}$

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = (3x^2 - 4x + 1)^5$

b) $y = \sqrt{x^3 + 2x - 1}$

c) $y = \sin(2x^2 + 1)$

Lời giải:

a) Áp dụng công thức $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$ với $u = 3x^2 - 4x + 1$.

$y' = 5(3x^2 - 4x + 1)^4 \cdot (3x^2 - 4x + 1)' = 5(3x^2 - 4x + 1)^4 \cdot (6x - 4)$.

---

b) Áp dụng công thức $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ với $u = x^3 + 2x - 1$.

$y' = \frac{(x^3 + 2x - 1)'}{2\sqrt{x^3 + 2x - 1}} = \frac{3x^2 + 2}{2\sqrt{x^3 + 2x - 1}}$.

---

c) Áp dụng công thức $(\sin u)' = u' \cdot \cos u$ với $u = 2x^2 + 1$.

$y' = (2x^2 + 1)' \cdot \cos(2x^2 + 1) = 4x \cdot \cos(2x^2 + 1)$.

3. Bài Tập Tự Luyện

Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số $y = x^4 - \frac{1}{3}x^3 + 2\sqrt{x} - 5$.

Lời giải:

$y' = (x^4)' - \left(\frac{1}{3}x^3\right)' + (2\sqrt{x})' - (5)'$

$y' = 4x^3 - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 0$

$y' = 4x^3 - x^2 + \frac{1}{\sqrt{x}}$.

---

Bài 2: Tính đạo hàm của hàm số $y = (x^2 + 1)(x - 3)$ tại điểm $x = 2$.

Lời giải:

Ta có $y = x^3 - 3x^2 + x - 3$.

$y' = 3x^2 - 6x + 1$.

Tại $x = 2$: $y'(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 1 = 12 - 12 + 1 = 1$.

---

Bài 3: Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{x^2 + 2x - 1}{x - 1}$.

Lời giải:

Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương:

$y' = \frac{(x^2 + 2x - 1)'(x - 1) - (x^2 + 2x - 1)(x - 1)'}{(x - 1)^2}$

$y' = \frac{(2x + 2)(x - 1) - (x^2 + 2x - 1)}{(x - 1)^2}$

$y' = \frac{2x^2 - 2x + 2x - 2 - x^2 - 2x + 1}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}$.

---

Bài 4: Tính đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{1 - 2x^2}$.

Lời giải:

Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp $(\sqrt{u})'$ với $u = 1 - 2x^2$:

$y' = \frac{(1 - 2x^2)'}{2\sqrt{1 - 2x^2}} = \frac{-4x}{2\sqrt{1 - 2x^2}} = \frac{-2x}{\sqrt{1 - 2x^2}}$.

---

Bài 5: Tính đạo hàm của hàm số $y = \cos^3(2x - \frac{\pi}{4})$.

Lời giải:

Hàm số có dạng $u^3$ với $u = \cos(2x - \frac{\pi}{4})$.

$y' = 3\cos^2(2x - \frac{\pi}{4}) \cdot (\cos(2x - \frac{\pi}{4}))'$

$= 3\cos^2(2x - \frac{\pi}{4}) \cdot [-\sin(2x - \frac{\pi}{4})] \cdot (2x - \frac{\pi}{4})'$

$= -6\cos^2(2x - \frac{\pi}{4}) \sin(2x - \frac{\pi}{4})$.

Nguồn: caolacvc.blogspot.com
Tác giả: Nguyễn Hoàng Thứ