dao ham cap hai

© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com

ĐẠO HÀM CẤP HAI

1. Định Nghĩa

Giả sử hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại mỗi điểm $x \in (a;b)$. Nếu hàm số $y'=f'(x)$ lại có đạo hàm tại $x$ thì đạo hàm của $f'(x)$ gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số $f(x)$ tại $x$, kí hiệu là $y''$ hoặc $f''(x)$.

$$ y'' = (y')' $$

2. Ý Nghĩa Cơ Học Của Đạo Hàm Cấp Hai

Xét một chất điểm chuyển động thẳng với phương trình $s = s(t)$.

• Vận tốc tức thời tại thời điểm $t$: $v(t) = s'(t)$.
• Gia tốc tức thời tại thời điểm $t$: $a(t) = v'(t) = s''(t)$.

Như vậy, đạo hàm cấp hai của hàm quãng đường theo thời gian chính là gia tốc của chuyển động.

3. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) $y = x^3 - 3x^2 + 2x - 1$

b) $y = \sin(2x)$

c) $y = \frac{1}{x}$

Lời giải:

a) $y' = 3x^2 - 6x + 2$.

$y'' = (3x^2 - 6x + 2)' = 6x - 6$.

---

b) $y' = (\sin(2x))' = 2\cos(2x)$.

$y'' = (2\cos(2x))' = 2(-\sin(2x)) \cdot 2 = -4\sin(2x)$.

---

c) $y' = -\frac{1}{x^2} = -x^{-2}$.

$y'' = (-x^{-2})' = -(-2)x^{-3} = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}$.

Ví dụ 2: Cho hàm số $y = f(x) = \cos x$. Chứng minh rằng $y'' + y = 0$.

Lời giải:

Ta có $y' = (\cos x)' = -\sin x$.

$y'' = (-\sin x)' = -(\sin x)' = -\cos x$.

Thay vào biểu thức: $y'' + y = -\cos x + \cos x = 0$. (đpcm)

4. Bài Tập Tự Luyện

Bài 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \sqrt{2x + 1}$.

Lời giải:

$y' = \frac{(2x+1)'}{2\sqrt{2x+1}} = \frac{2}{2\sqrt{2x+1}} = \frac{1}{\sqrt{2x+1}} = (2x+1)^{-1/2}$.

$y'' = -\frac{1}{2}(2x+1)^{-3/2} \cdot (2x+1)' = -\frac{1}{2}(2x+1)^{-3/2} \cdot 2 = -(2x+1)^{-3/2} = -\frac{1}{\sqrt{(2x+1)^3}}$.

---

Bài 2: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số $y = x \sin x$.

Lời giải:

$y' = (x)'\sin x + x(\sin x)' = \sin x + x\cos x$.

$y'' = (\sin x)' + (x\cos x)' = \cos x + (1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x))$

$= \cos x + \cos x - x\sin x = 2\cos x - x\sin x$.

---

Bài 3: Cho hàm số $y = \frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1}$. Tính $y''(1)$.

Lời giải:

Viết lại hàm số: $y = \frac{(x+1)^2 + 1}{x+1} = x + 1 + \frac{1}{x+1}$.

$y' = 1 - \frac{1}{(x+1)^2} = 1 - (x+1)^{-2}$.

$y'' = -(-2)(x+1)^{-3} = \frac{2}{(x+1)^3}$.

Tại $x=1$: $y''(1) = \frac{2}{(1+1)^3} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

---

Bài 4: Cho hàm số $y = \tan x$. Tính $y''$.

Lời giải:

$y' = 1 + \tan^2 x$.

$y'' = (1 + \tan^2 x)' = 0 + 2\tan x \cdot (\tan x)' = 2\tan x (1 + \tan^2 x)$.

Hoặc $y'' = 2\tan x + 2\tan^3 x$.

5. Bài Toán Thực Tế

Bài toán 1 (Chuyển động): Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t) = t^3 - 3t^2 + 9t + 1$, trong đó $t$ tính bằng giây (s) và $s$ tính bằng mét (m).
a) Tính vận tốc và gia tốc của chất điểm tại thời điểm $t = 2s$.
b) Tìm thời điểm mà gia tốc triệt tiêu (bằng 0).

Lời giải:

a) Vận tốc tức thời: $v(t) = s'(t) = 3t^2 - 6t + 9$.

Tại $t=2$: $v(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 9 = 12 - 12 + 9 = 9 \, (m/s)$.

Gia tốc tức thời: $a(t) = v'(t) = s''(t) = 6t - 6$.

Tại $t=2$: $a(2) = 6(2) - 6 = 6 \, (m/s^2)$.

---

b) Gia tốc triệt tiêu khi $a(t) = 0 \Leftrightarrow 6t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \, (s)$.

Vậy sau 1 giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động, gia tốc của chất điểm bằng 0.

Bài toán 2 (Dao động điều hòa): Một vật dao động điều hòa có phương trình li độ $x = 10 \cos(4\pi t + \frac{\pi}{3})$ (cm), t tính bằng giây.
Hãy xác định gia tốc của vật tại thời điểm $t = 0.5s$.

Lời giải:

Vận tốc $v = x' = -10 \cdot 4\pi \sin(4\pi t + \frac{\pi}{3}) = -40\pi \sin(4\pi t + \frac{\pi}{3})$.

Gia tốc $a = v' = x'' = -40\pi \cdot 4\pi \cos(4\pi t + \frac{\pi}{3}) = -160\pi^2 \cos(4\pi t + \frac{\pi}{3})$.

Tại $t = 0.5s$: $a = -160\pi^2 \cos(4\pi \cdot 0.5 + \frac{\pi}{3}) = -160\pi^2 \cos(2\pi + \frac{\pi}{3})$.

$a = -160\pi^2 \cos(\frac{\pi}{3}) = -160\pi^2 \cdot \frac{1}{2} = -80\pi^2 \, (cm/s^2)$.

Lấy $\pi^2 \approx 10$ thì $a \approx -800 \, cm/s^2$.

Nguồn: caolacvc.blogspot.com
Tác giả: Nguyễn Hoàng Thứ