Viết phương trình đường tròn

Một số dạng toán cơ bản viết phương trình đường tròn.

Để viết được phương trình đường tròn ta cần biết "TÂM" và "BÁN KÍNH" và phải nhớ công thức hai dạng của phương trình đường tròn.

1. Viết phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính

Ví dụ 1. Viết phương trình đường tròn $(C)$ biết tâm $I(-1;2)$ và bán kính $R=2$.

Giải.

Phương trình đường tròn $(C)$ là $$(C):(x+1)^2+(y-2)^2=4$$

2. Viết phương trình đường tròn có đường kính $AB$

Ví dụ 2. Viết phương trình đường tròn $(C)$ có đường kính $AB$, biết $A(3;2)$ và $B(1;4)$.

Giải.

Tâm của đường tròn $(C)$ là trung điểm $I$ của $AB$. Suy ra $I(2;3)$.

Ta có $AB=\sqrt{(1-3)^2+(4-2)^2}=2\sqrt{2}$

Bán kính $R=\frac{AB}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

Phương trình đường tròn $(C)$: $$(C):(x-2)^2+(y-3)^2=2$$

3. Viết phương trình đường tròn tâm $I$ và tiếp xúc với một đường thẳng

Ví dụ 3. Viết phương trình đường tròn $(C)$ có tâm $I(1;2)$ và tiếp xúc với $\Delta:2x-y+5=0$.

Giải.

$(C)$ có tâm $I(1;2)$

Vì $(C)$ tiếp xúc với $\Delta$ nên bán kính $R=d(I;\Delta)=\frac{|2.1-2+5|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\sqrt{5}$

Phương trình đường tròn $(C)$: $$(C):(x-1)^2+(y-2)^2=5$$

4. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm

Ví dụ 4. Viết phương trình đường tròn $(C)$ đi qua $A(1;2),B(5;2)$ và $C(1;-3)$.

Giải.

Gọi $(C):x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ là phương trình đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán (YCBT), điều kiện: $a^2+b^2-c>0$.

(Xem lại hai dạng của phương trình đường tròn)

Vì $(C)$ đi qua ba điểm $A,B,C$ nên ta có hệ

$\left\{ \begin{aligned}&1+4-2a-4b+c=0 \\&25+4-10a-4b+c=0 \\&1+9-2a+6b+c=0 \\\end{aligned} \right.$

$\Leftrightarrow\left\{ \begin{aligned}&-2a-4b+c=-5 \\&-10a-4b+c=-29 \\&-2a+6b+c=-10 \\\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}& a=3 \\& b=-\frac{1}{2} \\& c=-1 \\\end{aligned} \right.$

Kiểm tra điều kiện $a^2+b^2-c>0$

Phương trình đường tròn: $$(C):x^2+y^2-6x+y-1=0$$