Vận dụng cao Oxyz mặt cầu (Phần 3)

Vận dụng cao Oxyz (Phần 3)

Xem lại phần 1

Xem lại phần 2

Câu 21.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left(1;0;-5\right)$ bán kính $r=4$ và điểm $M\left(1;3;-1\right)$. Các đường thẳng qua $M$ tiếp xúc với $(S)$ tại các tiếp điểm thuộc đường tròn có bán kính $R$ bằng bao nhiêu?

A.$R={\displaystyle \frac{12}{5}}$.

B.$R={\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{5}}$.

C.$R=3$.

D.$R={\displaystyle \frac{5}{2}}$.

Giải

$IM=\sqrt{0+3^2+4^2}=5>r$

Khi đó, $AM\mathrm{\perp }AI\Rightarrow \mathrm{\Delta }AIM$ vuông tại A $\Rightarrow A$ di chuyển trên mặt cầu $(S^{\prime })$ tâm $J$ đường kính $IM$ cố định.

Do đó, $A$ di chuyển trên đường tròn giao tuyến $(C)$ của mặt cầu $(S)$ và mặt cầu $(S^{\prime })$.

Dựng $AH$ vuông góc $IM$ tại $H$. Suy ra bán kính đường tròn $(C)$ là. $R=AH$.

Ta có: $IH={\displaystyle \frac{I{A}^2}{IM}}={\displaystyle \frac{4^2}{5}}={\displaystyle \frac{16}{5}}\Rightarrow HM=5-{\displaystyle \frac{16}{5}}={\displaystyle \frac{9}{5}}$

$\Rightarrow AH=\sqrt{IH.HM}=\sqrt{{\displaystyle \frac{16}{5}}.{\displaystyle \frac{9}{5}}}={\displaystyle \frac{12}{5}}$

Vậy, các đường thẳng qua $M$ tiếp xúc với $(S)$ tại các tiếp điểm thuộc đường tròn có bán kính $R={\displaystyle \frac{12}{5}}$.

Chọn:A.

Câu 22.Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm $I(1;2;-3)$ biết rằng mặt cầu $\left(S\right)$ đi qua $A(1;0;4)$.

A.$\left(S\right):{\left(x+1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=53$

B.$\left(S\right):{\left(x+1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=\sqrt{53}$

C.$\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=\sqrt{53}$

D.$\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=53$

Giải

Ta có $IA=\sqrt{{\left(1-1\right)}^2+{\left(0-2\right)}^2+{\left(4-\left(-3\right)\right)}^2}=\sqrt{53}$

Mặt cầu tâm $I\left(1;2;-3\right)$ có bán kính $R=IA=\sqrt{53}$ có phương trình ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=53.$

ChọnD.

Câu 23.Cho $A\left(2;0;0\right),B\left(0;4;0\right),C\left(0;0;6\right),D\left(2;4;6\right)$. Quỹ tích điểm $M$ để $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right|=4$ là $\left(S\right)$ có phương trình:

A.${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=9$

B.$x^2+y^2+z^2=9$

C.${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=1$

D.${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=1$

Giải

* Giả sử $M\left(x;y;z\right)$ ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{MA}=\left(2-x;-y;-z\right)\\ \overrightarrow{MB}=\left(-x;4-y;-z\right)\\ \overrightarrow{MC}=\left(-x;-y;6-z\right)\\ \overrightarrow{MD}=\left(2-x;4-y;6-z\right)\end{array}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\left(-4x+4;-4y+8;-4z+12\right)$

* $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right|=4$

$\begin{array}{l}\iff \sqrt{{\left(-4x+4\right)}^2+{\left(-4y+8\right)}^2+{\left(-4z+12\right)}^2}=4\\ \iff {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=1\end{array}$.

ChọnD.

Câu 24.Cho $\left(P\right):2x+3y+z-11=0$, $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+4y-2z-8=0$. $\left(P\right)$ tiếp xúc với $\left(S\right)$ tại $T\left(a;b;c\right)$. Tính $a+b+c$.

A.$T\left(3;1;2\right)$

B.$T\left(1;2;3\right)$

C.$T\left(2;1;3\right)$

D.$T\left(3;2;1\right)$

Giải

* Ta có $I\left(1;-2;1\right)$.

* Lập phương trình $\left(d\right)$ đi qua $I$ và vuông góc với $\left(P\right)$.

+) $\overrightarrow{a_d}=\overrightarrow{n_P}=\left(2;3;1\right)$.

+) $d$ qua $I\Rightarrow d:{\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y+2}{3}}={\displaystyle \frac{z-1}{1}}$.

*Giảihệ $\{\begin{array}{l}d\\ \left(P\right)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}3x-2y-7=0\\ x-2z+1=0\\ 2x+3y+z-11=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=3\\ y=1\\ z=2\end{array}\Rightarrow T\left(3;1;2\right)$.

ChọnA.

Câu 25.Cho $\left(P\right):2x+2y+z+10=0,\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=4$. Biết $\left(P\right)$ không cắt $\left(S\right)$. $M$ di động trên $\left(S\right)$ Khi đó $d{\left(M;\left(P\right)\right)}_{max}$ là:

A.5

B.6

C.7

D.8

Giải

* Qua $I$ vẽ đường thẳng $\left(d\right)$ vuông góc với $\left(P\right)$, đường thẳng $\left(d\right)$ cắt $\left(S\right)$ tại $A,B$. Khi $M\equiv A$ thì $d\left(M;\left(P\right)\right)$ lớn nhất.

* Khoảng cách lớn nhất $=IM+IH=R+d\left(I;\left(P\right)\right)$.

Ta có $R=2;d\left(I;\left(P\right)\right)={\displaystyle \frac{\left|2+2+1+10\right|}{\sqrt{4+4+1}}}=5$.

$\Rightarrow d{\left(M;\left(P\right)\right)}_{max}=2+5=7$.

ChọnC.

Câu 26.Cho $\left(S_1\right):x^2+y^2+z^2=9,x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z-6=0$. Biết $\left(S_1\right)$ cắt $\left(S_2\right)$ theo giao tuyến là $\left(C\right)$. Tính $R_C$.

A.$\sqrt{{\displaystyle \frac{99}{12}}}$

B.$\sqrt{{\displaystyle \frac{77}{12}}}$

C.$\sqrt{{\displaystyle \frac{55}{12}}}$

D.$2$

Giải

* Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng chứa $\left(C\right)$. Phương trình $\left(P\right):\left(S_1\right)-\left(S_2\right)$

$\Rightarrow 2x+2y+2z-3=0$.

* $I_1\left(0;0;0\right),I_{1}H=d\left(I_1;\left(P\right)\right)3={\displaystyle \frac{\left|3\right|}{\sqrt{4+4+4}}}={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{12}}}$.

* Xét tam giác vuông $I_{1}AH:$

$AH=R_C=\sqrt{I_1{A}^2-I_1{H}^2}=\sqrt{9-{\displaystyle \frac{9}{12}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{99}{12}}}$.

ChọnA.

Câu 27.Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A,B$ thay đổi trên mặt cầu $x^2+y^2+(z-1{)}^2=25$ thỏa mãn $AB=6$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $O{A}^2-O{B}^2$ là

A.$12$

B.$6$

C.$10$

D.$24$

Giải

Mặt cầu $x^2+y^2+(z-1{)}^2=25$ có tâm $I\left(0;0;1\right)$, bán kính $R=5$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AB\Rightarrow IH\mathrm{\perp }AB$.

Ta có: $O{A}^2-O{B}^2=\left(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\right)\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)=\overrightarrow{BA}.2\overrightarrow{OH}$.

$=\overrightarrow{BA}.2\left(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IH}\right)=2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{OI}+2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{IH}$.

Do $IH\mathrm{\perp }AB\Rightarrow \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{IH}=0\Rightarrow O{A}^2-O{B}^2=2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{OI}$.

$=2BA.OI.\cos \mathrm{\angle }\left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{OI}\right)\le 2BA.OI=2.6.\sqrt{0^2+0^2+1^2}=12$.

Vậy $max\left(O{A}^2-O{B}^2\right)=12$.

ChọnA.

Câu 28.Gọi $\left(S\right)$ là tập hợp đi qua 4 điểm $A\left(2;0;0\right),B\left(1;3;0\right),C\left(-1;0;3\right),D\left(1;2;3\right)$. Tính bán kính $R$ của mặt cầu $\left(S\right)$.

A.$R=2\sqrt{2}$

B.$R=\sqrt{6}$

C.$R=6$

D.$R=3$

Giải

Gọi $I\left(a;b;c\right)$ là tâm của mặt cầu $\left(S\right)$.

Mặt cầu $\left(S\right)$ đi qua bốn điểm $A,B,C,D\Rightarrow \{\begin{array}{l}IA=IB\\ IB=IC\\ IC=ID\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff \{\begin{array}{c}{\left(a-2\right)}^2+b^2+c^2={\left(a-1\right)}^2+{\left(b-3\right)}^2+c^2\\ {\left(a-1\right)}^2+{\left(b-3\right)}^2+c^2={\left(a+1\right)}^2+b^2+{\left(c-3\right)}^2\\ {\left(a+1\right)}^2+b^2+{\left(c-3\right)}^2={\left(a-1\right)}^2+{\left(b-2\right)}^2+{\left(c-3\right)}^2\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}-4a+4=-2a+1-6b+9\\ -2a+1-6b+9=2a+1-6c+9\\ 2a+1=-2a+1-4b+4\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}-2a+6b=6\\ -4a-6b+6c=0\\ 4a+4b=4\end{array}\iff \{\begin{array}{c}a=0\\ b=1\\ c=1\end{array}\Rightarrow I\left(0;1;1\right)\\ \Rightarrow R=IA=\sqrt{{\left(a-2\right)}^2+b^2+c^2}=\sqrt{2^2+1^2+1^2}=\sqrt{6}\end{array}$

ChọnB.

Câu 29.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+2x-4y-2z+{\displaystyle \frac{9}{2}}=0$ và hai điểm $A(0;2;0)$$,B(2;-6;-2)$ Điểm $M\left(a;b;c\right)$ thuộc $\left(S\right)$ thỏa mãn tích $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}$ có giá trị nhỏ nhất. Tổng $a+b+c$ bằng

A.$-1.$

B.$1.$

C.$3.$

D.$2.$

Giải

Mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm $I\left(-1;2;1\right)$ và bán kính $R={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}$.

Gọi $E$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow E\left(1;-2;-1\right)$ và $AB=6\sqrt{2}$.

Ta có.

$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\left(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EA}\right)\left(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EB}\right)$ $=M{E}^2+\overrightarrow{ME}.\left(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}\right)+\overrightarrow{EA}.\overrightarrow{EB}$

$=M{E}^2+\overrightarrow{ME}.\overrightarrow{0}-\overrightarrow{EB}.\overrightarrow{EB}=M{E}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}A{B}^2$

Suy ra $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}$ đạt GTNN khi $ME$ đạt GTNN.

Lại có. $ME+MI\ge IE\Rightarrow ME+MI\ge IN+NE\Rightarrow ME\ge NE$

$\Rightarrow ME$ đạt $GTNN$ khi $M\equiv N$ với $N=IE\cap \left(S\right)$.

Đường thẳng $IE$ đi qua $I\left(-1;2;1\right)$ và nhận $\overrightarrow{IE}=\left(2;-4;-2\right)$ hay ${\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{IE}=\left(1;-2;-1\right)$ làm VTCP nên $IE:\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=2-2t\\ z=1-t\end{array}$.

$N=IE\cap \left(S\right)$ nên ${\left(-1+t\right)}^2+{\left(2-2t\right)}^2+{\left(1-t\right)}^2+2\left(-1+t\right)-4\left(2-2t\right)-2\left(1-t\right)+{\displaystyle \frac{9}{2}}=0$

$\iff 6{\left(t-1\right)}^2+12\left(t-1\right)+{\displaystyle \frac{9}{2}}=0$ $\iff [\begin{array}{l}t-1=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ t-1=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}\iff [\begin{array}{l}t={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ t=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$ $\Rightarrow [\begin{array}{l}N\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}};1;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\Rightarrow NE={\displaystyle \frac{3\sqrt{6}}{2}}\\ N\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}};3;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\Rightarrow NE={\displaystyle \frac{5\sqrt{6}}{2}}\end{array}$

$M{E}_{min}={\displaystyle \frac{3\sqrt{6}}{2}}$ khi $M\equiv N\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}};1;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ $\Rightarrow a+b+c=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+1+{\displaystyle \frac{1}{2}}=1$.

ChọnB.

Câu 30.Cho $A\left(0;1;2\right),B\left(2;-2;1\right),C\left(-2;0;1\right),\left(P\right):2x+2y+z-3=0$. $\left(S\right)$ có tâm $I\in \left(P\right)$ và đi qua $A,B,C$ có phương trình là:

A.${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z-7\right)}^2=89$

B.${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z+7\right)}^2=89$

C.$x^2+y^2+z^2=9$

D.$x^2+y^2+z^2=90$

Giải

* Giả sử $I\left(a;b;c\right)$.

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}I\in \left(P\right)\Rightarrow 2a+2b+c-3=0\\ IA=IB\iff a^2+{\left(b-1\right)}^2+{\left(c-2\right)}^2={\left(a-2\right)}^2+{\left(b+2\right)}^2+{\left(c-1\right)}^2\\ IB=IC\iff {\left(a-2\right)}^2+{\left(b+2\right)}^2+{\left(c-1\right)}^2={\left(a+2\right)}^2+b^2+{\left(c-1\right)}^2\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}2a+2b+c-3=0\\ 4a-6b-2c=4\\ -8a+4b=-4\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}a=2\\ b=3\\ c=-7\end{array}\Rightarrow I\left(2;3;-7\right)\end{array}$

* $R=IA=\sqrt{4+4+81}=\sqrt{89}$.

* Phương trình $\left(S\right):{\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z+7\right)}^2=89$.

ChọnB.