Vận dụng cao Oxyz mặt cầu (Phần 3)

Vận dụng cao Oxyz (Phần 3)

Xem lại phần 1

Xem lại phần 2

Câu 21.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left( {1;0; - 5} \right)$ bán kính $r = 4$ và điểm $M\left( {1;3; - 1} \right)$. Các đường thẳng qua $M$ tiếp xúc với $(S)$ tại các tiếp điểm thuộc đường tròn có bán kính $R$ bằng bao nhiêu?

A.$R = \dfrac{{12}}{5}$.

B.$R = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{5}$.

C.$R = 3$.

D.$R = \dfrac{5}{2}$.

Giải

$IM = \sqrt {0 + {3^2} + {4^2}} = 5 > r$

Khi đó, $AM \bot AI \Rightarrow \Delta AIM$ vuông tại A $ \Rightarrow A$ di chuyển trên mặt cầu $(S’)$ tâm $J$ đường kính $IM$ cố định.

Do đó, $A$ di chuyển trên đường tròn giao tuyến $(C)$ của mặt cầu $(S)$ và mặt cầu $(S’)$.

Dựng $AH$ vuông góc $IM$ tại $H$. Suy ra bán kính đường tròn $(C)$ là. $R = AH$.

Ta có: $IH = \dfrac{{I{A^2}}}{{IM}} = \dfrac{{{4^2}}}{5} = \dfrac{{16}}{5} \Rightarrow HM = 5 - \dfrac{{16}}{5} = \dfrac{9}{5}$

$ \Rightarrow AH = \sqrt {IH.HM} = \sqrt {\dfrac{{16}}{5}.\dfrac{9}{5}} = \dfrac{{12}}{5}$

Vậy, các đường thẳng qua $M$ tiếp xúc với $(S)$ tại các tiếp điểm thuộc đường tròn có bán kính $R = \dfrac{{12}}{5}$.

Chọn:A.

Câu 22.Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I(1;2; - 3)$ biết rằng mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua $A(1;0;4)$.

A.$\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 53$

B.$\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \sqrt {53} $

C.$\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \sqrt {53} $

D.$\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 53$

Giải

Ta có $IA = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - \left( { - 3} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {53} $

Mặt cầu tâm $I\left( {1;2; - 3} \right)$ có bán kính $R = IA = \sqrt {53} $ có phương trình ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 53.$

ChọnD.

Câu 23.Cho $A\left( {2;0;0} \right),\,\,B\left( {0;4;0} \right),\,\,C\left( {0;0;6} \right),\,\,D\left( {2;4;6} \right)$. Quỹ tích điểm $M$ để $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right| = 4$ là $\left( S \right)$ có phương trình:

A.${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9$

B.${x^2} + {y^2} + {z^2} = 9$

C.${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1$

D.${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1$

Giải

* Giả sử $M\left( {x;y;z} \right)$ ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} = \left( {2 - x; - y; - z} \right)\\\overrightarrow {MB} = \left( { - x;4 - y; - z} \right)\\\overrightarrow {MC} = \left( { - x; - y;6 - z} \right)\\\overrightarrow {MD} = \left( {2 - x;4 - y;6 - z} \right)\end{array}$

$ \Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = \left( { - 4x + 4; - 4y + 8; - 4z + 12} \right)$

* $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right| = 4$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( { - 4x + 4} \right)}^2} + {{\left( { - 4y + 8} \right)}^2} + {{\left( { - 4z + 12} \right)}^2}} = 4\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1\end{array}$.

ChọnD.

Câu 24.Cho $\left( P \right):\,\,2x + 3y + z - 11 = 0$, $\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 8 = 0$. $\left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right)$ tại $T\left( {a;b;c} \right)$. Tính $a + b + c$.

A.$T\left( {3;1;2} \right)$

B.$T\left( {1;2;3} \right)$

C.$T\left( {2;1;3} \right)$

D.$T\left( {3;2;1} \right)$

Giải

* Ta có $I\left( {1; - 2;1} \right)$.

* Lập phương trình $\left( d \right)$ đi qua $I$ và vuông góc với $\left( P \right)$.

+) $\overrightarrow {{a_d}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;3;1} \right)$.

+) $d$ qua $I \Rightarrow d:\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{3} = \dfrac{{z - 1}}{1}$.

*Giảihệ $\left\{ \begin{array}{l}d\\\left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2y - 7 = 0\\x - 2z + 1 = 0\\2x + 3y + z - 11 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow T\left( {3;1;2} \right)$.

ChọnA.

Câu 25.Cho $\left( P \right):\,\,2x + 2y + z + 10 = 0,\,\,\left( S \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4$. Biết $\left( P \right)$ không cắt $\left( S \right)$. $M$ di động trên $\left( S \right)$ Khi đó $d{\left( {M;\left( P \right)} \right)_{\max }}$ là:

A.5

B.6

C.7

D.8

Giải

* Qua $I$ vẽ đường thẳng $\left( d \right)$ vuông góc với $\left( P \right)$, đường thẳng $\left( d \right)$ cắt $\left( S \right)$ tại $A,B$. Khi $M \equiv A$ thì $d\left( {M;\left( P \right)} \right)$ lớn nhất.

* Khoảng cách lớn nhất $ = IM + IH = R + d\left( {I;\left( P \right)} \right)$.

Ta có $R = 2;\,\,d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2 + 2 + 1 + 10} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = 5$.

$ \Rightarrow d{\left( {M;\left( P \right)} \right)_{\max }} = 2 + 5 = 7$.

ChọnC.

Câu 26.Cho $\left( {{S_1}} \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9,\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z - 6 = 0$. Biết $\left( {{S_1}} \right)$ cắt $\left( {{S_2}} \right)$ theo giao tuyến là $\left( C \right)$. Tính ${R_C}$.

A.$\sqrt {\dfrac{{99}}{{12}}} $

B.$\sqrt {\dfrac{{77}}{{12}}} $

C.$\sqrt {\dfrac{{55}}{{12}}} $

D.$2$

Giải

* Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa $\left( C \right)$. Phương trình $\left( P \right):\,\left( {{S_1}} \right) - \left( {{S_2}} \right)$

$ \Rightarrow 2x + 2y + 2z - 3 = 0$.

* ${I_1}\left( {0;0;0} \right),\,\,{I_1}H = d\left( {{I_1};\left( P \right)} \right)3 = \dfrac{{\left| 3 \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 4} }} = \dfrac{3}{{\sqrt {12} }}$.

* Xét tam giác vuông ${I_1}AH:\,\,$

$AH = {R_C} = \sqrt {{I_1}{A^2} - {I_1}{H^2}} = \sqrt {9 - \dfrac{9}{{12}}} = \sqrt {\dfrac{{99}}{{12}}} $.

ChọnA.

Câu 27.Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A, B$ thay đổi trên mặt cầu ${x^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 25$ thỏa mãn $AB = 6$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $O{A^2} - O{B^2}$ là

A.$12$

B.$6$

C.$10$

D.$24$

Giải

Mặt cầu ${x^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 25$ có tâm $I\left( {0;0;1} \right)$, bán kính $R = 5$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AB \Rightarrow IH \bot AB$.

Ta có: $O{A^2} - O{B^2} = \left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } \right)\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) = \overrightarrow {BA} .2\overrightarrow {OH} $.

$ = \overrightarrow {BA} .2\left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IH} } \right) = 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {OI} + 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {IH} $.

Do $IH \bot AB \Rightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {IH} = 0 \Rightarrow O{A^2} - O{B^2} = 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {OI} $.

$ = 2BA.OI.\cos \angle \left( {\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {OI} } \right) \le 2BA.OI = 2.6.\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} = 12$.

Vậy $\max \left( {O{A^2} - O{B^2}} \right) = 12$.

ChọnA.

Câu 28.Gọi $\left( S \right)$ là tập hợp đi qua 4 điểm $A\left( {2;0;0} \right),\,\,B\left( {1;3;0} \right),\,\,C\left( { - 1;0;3} \right),\,\,D\left( {1;2;3} \right)$. Tính bán kính $R$ của mặt cầu $\left( S \right)$.

A.$R = 2\sqrt 2 $

B.$R = \sqrt 6 $

C.$R = 6$

D.$R = 3$

Giải

Gọi $I\left( {a;b;c} \right)$ là tâm của mặt cầu $\left( S \right)$.

Mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua bốn điểm $A,B,C,D \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IB = IC\\IC = ID\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} + {c^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} + {c^2} = {\left( {a + 1} \right)^2} + {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\{\left( {a + 1} \right)^2} + {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4a + 4 = - 2a + 1 - 6b + 9\\ - 2a + 1 - 6b + 9 = 2a + 1 - 6c + 9\\2a + 1 = - 2a + 1 - 4b + 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + 6b = 6\\ - 4a - 6b + 6c = 0\\4a + 4b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 1\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0;1;1} \right)\\ \Rightarrow R = IA = \sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {b^2} + {c^2}} = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 6 \end{array}$

ChọnB.

Câu 29.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + \dfrac{9}{2} = 0$ và hai điểm $A(0;2;0)$$,B(2; - 6; - 2)$ Điểm $M\left( {a;b;c} \right)$ thuộc $\left( S \right)$ thỏa mãn tích $\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} $ có giá trị nhỏ nhất. Tổng $a + b + c$ bằng

A.$ - 1.$

B.$1.$

C.$3.$

D.$2.$

Giải

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( { - 1;2;1} \right)$ và bán kính $R = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}$.

Gọi $E$ là trung điểm của $AB$ $ \Rightarrow E\left( {1; - 2; - 1} \right)$ và $AB = 6\sqrt 2 $.

Ta có.

$\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \left( {\overrightarrow {ME} + \overrightarrow {EA} } \right)\left( {\overrightarrow {ME} + \overrightarrow {EB} } \right)$ $ = M{E^2} + \overrightarrow {ME} .\left( {\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} } \right) + \overrightarrow {EA} .\overrightarrow {EB} $

$ = M{E^2} + \overrightarrow {ME} .\overrightarrow 0 - \overrightarrow {EB} .\overrightarrow {EB} = M{E^2} - \dfrac{1}{4}A{B^2}$

Suy ra $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} $ đạt GTNN khi $ME$ đạt GTNN.

Lại có. $ME + MI \ge IE \Rightarrow ME + MI \ge IN + NE \Rightarrow ME \ge NE$

$ \Rightarrow ME$ đạt $GTNN$ khi $M \equiv N$ với $N = IE \cap \left( S \right)$.

Đường thẳng $IE$ đi qua $I\left( { - 1;2;1} \right)$ và nhận $\overrightarrow {IE} = \left( {2; - 4; - 2} \right)$ hay $\dfrac{1}{2}\overrightarrow {IE} = \left( {1; - 2; - 1} \right)$ làm VTCP nên $IE:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 2 - 2t\\z = 1 - t\end{array} \right.$.

$N = IE \cap \left( S \right)$ nên ${\left( { - 1 + t} \right)^2} + {\left( {2 - 2t} \right)^2} + {\left( {1 - t} \right)^2} + 2\left( { - 1 + t} \right) - 4\left( {2 - 2t} \right) - 2\left( {1 - t} \right) + \dfrac{9}{2} = 0$

$ \Leftrightarrow 6{\left( {t - 1} \right)^2} + 12\left( {t - 1} \right) + \dfrac{9}{2} = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 1 = - \dfrac{1}{2}\\t - 1 = - \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{1}{2}\\t = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}N\left( { - \dfrac{1}{2};1;\dfrac{1}{2}} \right) \Rightarrow NE = \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2}\\N\left( { - \dfrac{3}{2};3;\dfrac{3}{2}} \right) \Rightarrow NE = \dfrac{{5\sqrt 6 }}{2}\end{array} \right.$

$M{E_{\min }} = \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2}$ khi $M \equiv N\left( { - \dfrac{1}{2};1;\dfrac{1}{2}} \right)$ $ \Rightarrow a + b + c = - \dfrac{1}{2} + 1 + \dfrac{1}{2} = 1$.

ChọnB.

Câu 30.Cho $A\left( {0;1;2} \right),\,\,B\left( {2; - 2;1} \right),\,\,C\left( { - 2;0;1} \right),\,\,\left( P \right):\,\,2x + 2y + z - 3 = 0$. $\left( S \right)$ có tâm $I \in \left( P \right)$ và đi qua $A,B,C$ có phương trình là:

A.${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 89$

B.${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 7} \right)^2} = 89$

C.${x^2} + {y^2} + {z^2} = 9$

D.${x^2} + {y^2} + {z^2} = 90$

Giải

* Giả sử $I\left( {a;b;c} \right)$.

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}I \in \left( P \right) \Rightarrow 2a + 2b + c - 3 = 0\\IA = IB \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\\IB = IC \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a + 2} \right)^2} + {b^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 2b + c - 3 = 0\\4a - 6b - 2c = 4\\ - 8a + 4b = - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\\c = - 7\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2;3; - 7} \right)\end{array}$

* $R = IA = \sqrt {4 + 4 + 81} = \sqrt {89} $.

* Phương trình $\left( S \right):\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 7} \right)^2} = 89$.

ChọnB.