Vận dụng cao Oxyz mặt cầu (Phần 4)

Vận dụng cao Oxyz (Phần 4)

Xem lại phần 1

Xem lại phần 2

Xem lại phần 3

Câu 31.Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left(S\right)$ đi qua điểm $M\left(2;5;-2\right)$ và tiếp xúc với các mặt phẳng $\left(\alpha \right):x=1,\left(\beta \right):y=1,\left(\gamma \right):z=-1$. Bán kính của mặt cầu $\left(S\right)$ bằng:

A.$4$.

B.$1$

C.$3\sqrt{2}$.

D.$3$

Giải.

Giả sử $I\left(a;b;c\right)$ là tâm mặt cầu $\left(S\right)$, ta có: $d\left(I;\left(\alpha \right)\right)=d\left(I;\left(\beta \right)\right)=d\left(I;\left(\gamma \right)\right)$

$\Rightarrow R=\left|a-1\right|=\left|b-1\right|=\left|c+1\right|$

Do $M$ thuộc miền $x>1,y>1,z<-1$ và $M\in \left(S\right)$ nên $I\left(a;b;c\right)$ cũng thuộc miền $x>1,y>1,z<-1$$\Rightarrow a>1,b>1,c<-1$ $\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=R+1\\ b=R+1\\ c=-R-1\end{array}$

Mặt khác $IM=R\Rightarrow {\left(R-1\right)}^2+{\left(R-4\right)}^2+{\left(R-1\right)}^2=R^2\iff R=3$.

Chọn:D.

Câu 32.Lập phương trình $\left(S\right)$ có $R=3$ và tiếp xúc với $\left(P\right):x+2y+2z+3=0$ tại $M\left(1;1;-3\right)$ biết $x_I>0$.

A.${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=9$

B.${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=9$

C.$x^2+y^2+z^2=9$

D.$x^2+{\left(y-3\right)}^2+z^2=9$

Giải.

* ${\overrightarrow{a}}_{IM}=\overrightarrow{n_P}=\left(1;2;2\right)$ $\Rightarrow$ Phương trình $IM:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+2t\\ z=-3+2t\end{array}$.

* $I\in IM\Rightarrow I\left(t+1;2t+1;2t-3\right)$.

* $IM=3\iff t^2+4t^2+4t^2=9\iff [\begin{array}{l}t=1\\ t=-1\end{array}$

$\Rightarrow [\begin{array}{l}I\left(2;3;-1\right)\\ I\left(0;-1;-5\right)\left(Loai\right)\end{array}$.

* Phương trình $\left(S\right):{\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=9$.

ChọnA. 

Câu 33.Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm $A(0;1;1),B(3;0;-1),C(0;21;-19)$ và mặt cầu $\left(S\right):{(x-1)}^2+{(y-1)}^2+{(z-1)}^2=1$. Điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho tổng $3M{A}^2+2M{B}^2+M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó, độ dài vectơ $\overrightarrow{OM}$ là

A.$\sqrt{110}$.

B.$3\sqrt{10}$.

C.$\frac{3\sqrt{10}}{5}$.

D.$\frac{\sqrt{110}}{5}$.

Giải.

+) Mặt cầu $\left(S\right):{(x-1)}^2+{(y-1)}^2+{(z-1)}^2=1$ có tâm $J(1;1;1)$, bán kính $R=1$.

+) Tìm $I$: $3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\iff 6\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{IA}=-\frac{2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{6}$

Ta có: $A(0;1;1),B(3;0;-1),C(0;21;-19)\Rightarrow \overrightarrow{IA}(-x_I;1-y_I;1-z_I),\overrightarrow{AB}(3;-1;-2),\overrightarrow{AC}(0;20;-20)$

$\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& -x_I=-\frac{2.3+0}{6}\\ & 1-y_I=-\frac{2.(-1)+20}{6}\\ & 1-z_I=-\frac{2.(-2)+(-20)}{6}\end{array}\Rightarrow I(1;4;-3)$

+) Ta có:

$\begin{array}{rl}& 3M{A}^2+2M{B}^2+M{C}^2=3{(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})}^2+2{(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})}^2+{(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})}^2\\ & =6M{I}^2+3I{A}^2+2I{B}^2+I{C}^2+2.\overrightarrow{MI}.(3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC})=6M{I}^2+3I{A}^2+2I{B}^2+I{C}^2+2.\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{0}\\ & =6M{I}^2+3I{A}^2+2I{B}^2+I{C}^2\end{array}$

Để tổng trên là nhỏ nhất thì MI nhỏ nhất $\Rightarrow M$là giao điểm của đoạn thẳng $IJ$ và mặt cầu $\left(S\right)$.

$\overrightarrow{JI}=(0;3;-4)$

$\Rightarrow$Tọa độ điểm $M$thuộc đoạn IJ có dạng $(1;1+3t;1-4t),t\in [0;1]$

Mặt khác $M\in \left(S\right)\Rightarrow {(1-1)}^2+{(1-(1+3t))}^2+{(1-(1-4t))}^2=1$

$\iff t^2=\frac{1}{25}\iff [\begin{array}{rl}& t=\frac{1}{5}\\ & t=-\frac{1}{5}(L)\end{array}\iff t=\frac{1}{5}$ $\Rightarrow M(1;\frac{8}{5};\frac{1}{5})\Rightarrow OM=\frac{3\sqrt{10}}{5}$.

Chọn:C. 

Câu 34.Tứ diện $ABCD$ có $A\left(3;3;0\right),B\left(3;0;3\right),C\left(0;3;3\right),D\left(3;3;3\right)$. Lập phương trình $\left(S\right)$ ngoại tiếp tứ diện $ABCD$.

A.${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$

B.$x^2+y^2+z^2=4$

C.${\left(x-3\right)}^2+y^2+z^2=27$

D.${\left(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2+{\left(y-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2+{\left(z-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{27}{4}}$

Giải.

* Giả sử $I\left(a;b;c\right)$ ta có $\{\begin{array}{l}IA=IB\\ IB=IC\\ IC=ID\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{\left(a-3\right)}^2+{\left(b-3\right)}^2+c^2={\left(a-3\right)}^2+b^2+{\left(c-3\right)}^2\\ {\left(a-3\right)}^2+b^2+{\left(c-3\right)}^2=a^2+{\left(b-3\right)}^2+{\left(c-3\right)}^2\\ a^2+{\left(b-3\right)}^2+{\left(c-3\right)}^2={\left(a-3\right)}^2+{\left(b-3\right)}^2+{\left(c-3\right)}^2\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}-6b+9=-6c+9\\ -6a+9=-6b+9\\ 0=-6a+9\end{array}\iff a=b=c={\displaystyle \frac{3}{2}}\Rightarrow I\left({\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$.

* $R=IA=\sqrt{{\displaystyle \frac{9}{4}}+{\displaystyle \frac{9}{4}}+{\displaystyle \frac{9}{4}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{27}{4}}}$.

* Phương trình $\left(S\right):{\left(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2+{\left(y-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2+{\left(z-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{27}{4}}$.

ChọnD. 

Câu 35.Cho $\left(\mathrm{\Delta }\right):{\displaystyle \frac{x-2}{-3}}={\displaystyle \frac{y-1}{2}}={\displaystyle \frac{z-1}{2}}$ ; $\left(P\right):x+2y-2z-2=0$ ; $\left(Q\right):x+2y-2z+4=0$. Lập phương trình $\left(S\right)$ có tâm $I\in \left(\mathrm{\Delta }\right)$ và tiếp xúc với $\left(P\right),\left(Q\right)$.

A.$x^2+y^2+z^2-2x-6y=0$

B.$x^2+y^2+z^2-6z+3=0$

C.$x^2+y^2+z^2-2x-6y-6z-18=0$

D.$x^2+y^2+z^2+2x-6y-6z+18=0$

Giải.

* $I\in \left(\mathrm{\Delta }\right)\Rightarrow I\left(-3t+2;2t+1;2t+1\right)$.

* $\left(S\right)$ tiếp xúc với $\left(P\right),\left(Q\right)$$\Rightarrow d\left(I;\left(P\right)\right)=d\left(I;\left(Q\right)\right)$.

$\begin{array}{l}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\left|-3t+2+2\left(2t+1\right)-2\left(2t+1\right)-2\right|}{\sqrt{1+4+4}}}={\displaystyle \frac{\left|-3t+2+2\left(2t+1\right)-2\left(2t+1\right)+4\right|}{\sqrt{1+4+4}}}\\ \iff \left|-3t\right|=\left|-3t+6\right|\iff -3t=3t-6\iff t=1\Rightarrow I\left(-1;3;3\right)\end{array}$

* $d=d\left(I;\left(P\right)\right)={\displaystyle \frac{3}{3}}=1$.

* Phương trình $\left(S\right):{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=1\iff x^2+y^2+z^2+2x-6y-6z+18=0$.

ChọnD. 

Câu 36.Cho $\left(P\right):x-2y+2z-1=0,\left(S\right):x^2+y^2+z^2+2y-2z-23=0$. $\left(P\right)\cap \left(S\right)=\left(C\right)$. Tính $R_C$.

A.$\sqrt{22}$

B.$\sqrt{24}$

C.$5$

D.$\sqrt{26}$

Giải.

* $I\left(0;-1;1\right)\Rightarrow IJ=d\left(I;\left(P\right)\right)={\displaystyle \frac{\left|0+2+2-1\right|}{\sqrt{1+4+4}}}=1$.

* $R_S=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}=\sqrt{1+1+23}=5$.

* $R_C=\sqrt{R_S^2-I{J}^2}=\sqrt{25-1}=\sqrt{24}$.

ChọnB.

Câu 37.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):{(x+1)}^2+{(y+2)}^2+{(z+3)}^2=14$ và điểm $A(1;-1;-6)$. Tìm trên trục Oz điểm B sao cho đường thẳng AB tiếp xúc với (S)?

A.$B(0;0;-\frac{19}{3})$

B.$B(0;0;\frac{19}{3})$

C.$B(0;0;-\frac{3}{19})$

D.$B(0;0;\frac{3}{19})$

Giải.

Gọi $B(0;0;a)\in Oz$.

Ta thấy ${(1+1)}^2+{(-1+2)}^2+{(-6+3)}^2=14\Rightarrow A\in \left(S\right)$, mà AB tiếp xúc với (S) $\Rightarrow AB$ tiếp xúc với (S) tại A.

$\Rightarrow AB\mathrm{\perp }IA$ tại A $\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{IA}=0$ , với I là tâm của mặt cầu (S), $I(-1;-2;-3)$

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-1;1;a+6),\overrightarrow{IA}=(2;1;-3)$

$\iff -2+1-3(a+6)=0\iff -3a-19=0\iff a=-\frac{19}{3}$

Vậy $B(0;0;-\frac{19}{3})$

ChọnA. 

Câu 38.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):

$x^2+y^2+z^2-4x-4y-4z=0$ và điểm $A(4;4;0)$. Tìm tọa độ điểm B thuộc (S) sao cho tam giác OAB đều (O là gốc tọa độ).

A.$[\begin{array}{l}B\left(0;-4;4\right)\\ B\left(4;0;4\right)\end{array}$

B.$[\begin{array}{l}B\left(0;4;-4\right)\\ B\left(4;0;4\right)\end{array}$

C.$[\begin{array}{l}B\left(0;-4;-4\right)\\ B\left(4;0;4\right)\end{array}$

D.$[\begin{array}{l}B\left(0;4;4\right)\\ B\left(4;0;4\right)\end{array}$

Giải.

Giả sử điểm $B(x,y,z)\in \left(S\right)$.

Theo giả thiết ta có:

$\{\begin{array}{l}B\in \left(S\right)\\ OA=OB\\ OA=AB\end{array}\iff \{\begin{array}{l}B\in \left(S\right)\\ O{A}^2=O{B}^2\\ O{A}^2=A{B}^2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2-4x-4y-4z=0\\ 4^2+4^2+0^2=x^2+y^2+z^2\\ 4^2+4^2+0^2={\left(x-4\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2+z^2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2-4x-4y-4z=0\\ x^2+y^2+z^2=32\\ {\left(x-4\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2+z^2=32\end{array}$

Giải hệ phương trình trên ta được hai nghiệm $(a;b;c)$ là $(0;4;4)$ hoặc $(4;0;4)$.

ChọnD. 

Câu 39.Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho ba điểm $A(1;2;1),B(3;-1;1)$ và $C(-1;-1;1).$ Gọi $\left(S_1\right)$ là mặt cầu có tâm $A,$ bán kính bằng $2;$ $\left(S_2\right)$ và $\left(S_3\right)$ là hai mặt cầu có tâm lần lượt là $B,C$ và bán kính đều bằng $1.$ có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu $\left(S_1\right),\left(S_2\right),\left(S_3\right)?$

A.$5.$

B.$7.$

C.$6.$

D.$8.$

Giải.

Gọi phương trình mặt phẳng cần tìm là $\left(P\right):ax+by+cz+d=0.$

Vì$d\left(B;\left(P\right)\right)$=$d\left(C;\left(P\right)\right)=1$ suy ra $mp\left(P\right)$//$BC$ hoặc đi qua trung điểm của $BC.$

TH1. Với $mp\left(P\right)$//$BC$$\Rightarrow a=0\Rightarrow \left(P\right):by+cz+d=0$ suy ra $d(A;\left(P\right))=\frac{|2b+c+d|}{\sqrt{b^2+c^2}}=2$

Và $d(B;\left(P\right))=\frac{|-b+c+d|}{\sqrt{b^2+c^2}}=1$$\Rightarrow$$\{\begin{array}{rl}& |2b+c+d|=2|-b+c+d|\\ & |-b+c+d|=\sqrt{b^2+c^2}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}4b=c+d\\ c+d=0\end{array}\\ \left|-b+c+d\right|=\sqrt{b^2+c^2}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}3\left|b\right|=\sqrt{b^2+c^2}\\ \left|b\right|=\sqrt{b^2+c^2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}8b^2=c^2\Rightarrow c=\pm 2\sqrt{2}b\\ c=0\Rightarrow d=0\end{array}$suy ra có ba mặt phẳng thỏa mãn.

TH2. Mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua trung điểm $BC$$\Rightarrow$$\left(P\right):a(x-1)+b(y+1)+c(z-1)=0$

Do đó $d(A;\left(P\right))=\frac{3\left|b\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=2;d(B;\left(P\right))=\frac{2\left|a\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=1$

Suy ra $\{\begin{array}{rl}& 3\left|b\right|=4\left|a\right|\\ & 2\left|a\right|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}3\left|b\right|=4\left|a\right|\\ 2\left|a\right|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3\left|b\right|=4\left|a\right|\\ 3a^2=b^2+c^2\end{array}(\ast ).$

Chọn $a=3$ suy ra

$(\ast )\iff \{\begin{array}{l}\left|b\right|=4\\ b^2+c^2=27\end{array}\iff \{\begin{array}{l}b=\pm 4\\ c^2=11\end{array}\Rightarrow \left(a;b;c\right)=\left\{\begin{array}{l}\left(3;4;\sqrt{11}\right),\left(3;-4;\sqrt{11}\right)\\ \left(3;4;-\sqrt{11}\right),\left(3;-4;-\sqrt{11}\right)\end{array}\right\}.$

Vậy có tất cả 7 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

ChọnB. 

Câu 40.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(3;-2;6),B(0;1;0)$ và mặt cầu $\left(S\right):{(x-1)}^2+{(y-2)}^2+{(z-3)}^2=25$. Mặt phẳng $\left(P\right):ax+by+cz-2=0$ đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính $T=a+b+c.$

A.$T=3$

B.$T=5$

C.$T=2$

D.$T=4$

Giải.

$\begin{array}{rl}& B\in \left(P\right)\Rightarrow b-2=0\iff b=2\\ & A\in \left(P\right)\Rightarrow 3a-2b+6c-2=0\Rightarrow a+2c=2\Rightarrow a=2-2c\end{array}$

Khi đó mặt phẳng (P) có dạng. $\left(P\right):(2-2c)x+2y+cz-2=0$

Mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm $I(1;2;3)$, bán kính $R=5$.

Gọi H và K lần lượt là chân đường vuông góc của I trên (P) và trên đường thẳng AB.Ta có. $IH\le IK$

Để mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất thì $d{(I;\left(P\right))}_{max}=I{H}_{max}=IK\iff H\equiv K.$

Ta có. $\overrightarrow{AB}=(-3;3;-6)=-3(1;-1;2)$

$\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng $AB$.$\{\begin{array}{rl}& x=t\\ & y=1-t\\ & z=2t\end{array},K\in AB\Rightarrow K(t;1-t;2t)\Rightarrow \overrightarrow{IK}=(t-1;-t-1;2t-3)$

Vì $IK\mathrm{\perp }AB\Rightarrow \overrightarrow{IK}.\overrightarrow{AB}=0\Rightarrow (t-1)-(-t-1)+2(2t-3)=0\iff 6t-6=0\iff t=1\Rightarrow K(1;0;2)$

$d{(I;\left(P\right))}_{max}=I{H}_{max}=IK\iff H\equiv K\Rightarrow H(1;0;2)\Rightarrow \overrightarrow{IH}=(0;-2;-1)$ là 1 VTPT của (P).

$\Rightarrow \overrightarrow{IH}$ và vector pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{\left(P\right)}(2-2c;2;c)$ cùng phương

$\begin{array}{l}\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{\left(P\right)}=k\overrightarrow{IH}\Rightarrow \{\begin{array}{c}2-2c=0\\ 2=-2k\\ c=-k\end{array}\iff \{\begin{array}{c}c=1\\ k=-1\end{array}\Rightarrow a=2-2c=0\\ \Rightarrow T=a+b+c=0+2+1=3\end{array}$

ChọnA.