NGƯỜI CHẾ NGỰ VÔ CỰC

Học toán để làm gì? Chả để làm gì cả, đôi khi ước muốn nho nhỏ là có chút hiểu biết để có thể hiểu được những cái hay mà các thế hệ đi trước để lại

Vô cực (Vô cùng)

Quay trở về quá khứ một chút, chắc chắn rằng ai trong chúng ta cũng sẽ có một thắc mắc “Nếu ta đang đứng trên mặt đất, ta cứ đi mãi, đi mãi, theo một hướng, ta sẽ đến đâu?”

“Đường chân trời”, có lẽ vậy. Mà đường chân trời là gì? Ta cũng chả biết, mà giả sử có đường chân trời

“Vậy nếu đi tới đường chân trời rồi, vượt qua tiếp đường chân trời sẽ tới đâu? Hay bên ngoài của đường chân trời là gì?”

“Vô định”, chả thể biết được… Quá khó để hình dung

Tuy nhiên đến thời điểm hiện tại thì ta đã biết là Trái Đất hình cầu, nên cứ đi theo một hướng nhất định sẽ quay về chỗ cũ!!! Thật khó hiểu!

Bây giờ ta không đi theo một hướng nữa, ta thử bay lên cao

“Nếu bay lên cao mãi, cao mãi, sẽ tới đâu?”

“Ra khỏi Trái Đất”

“Bay tiếp nữa”

“Ra khỏi hệ Mặt Trời”

“Tiếp nữa”

“Ra khỏi Thiên Hà”

“Tiếp nữa”

“Cực kỳ nhiều thiên hà, hay vũ trụ”

“Tiếp nữa”

“Cực kỳ nhiều vũ trụ, không biết gọi là gì”

“Tiếp nữa”

“Không biết!!!”

Đó là những thứ vô cùng vô tận mà khó tưởng tưởng được là gì, trong toán học cũng có vô cùng, cũng là một thứ khó tưởng tượng không kém.

Lớp 11 trong chương trình THPT đã được tiếp cận khái niệm vô cực (hay vô cùng), ta có thể làm bài tập, thao tác chúng một cách đơn giản nhẹ nhàng nhưng để thực sự biết vô cực là gì thì ta cần phải có một cách nhìn nghiêm túc về nó.

Không phải riêng chúng ta, mà trước Cantor (3/3/1845), kể cả các nhà Toán học cũng chưa thể hiểu được đầy đủ và hệ thống về vô cực. Nó là nguồn gốc của nhiều nghịch lý và sự nhầm lẫn. Chính Cantor là người đầu tiên đưa ra được giải thích hợp lý, chính xác và có hệ thống về khái niệm này.

Sau đây là một vài nghịch lý về vô cực

Nghịch lý Zeno

Nghịch lý Zeno thường thấy dưới dạng Achilles chạy đua cùng rùa

“Achilles và rùa chạy đua, ai cũng biết Achilles chạy rất nhanh, còn rùa thì rất chậm. Vì thế Achilles cho rùa chạy trước. Câu hỏi đặt ra là liệu Achilles có đuổi kịp rùa hay không?”

Zeno bảo “Không”, Zeno tuyên bố là Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa.

Nhiều ánh mắt có vẻ nghi ngờ, và Zeno lý luận như sau

Giả sử khi Achilles bắt đầu chạy thì do rùa khởi hành trước nên rùa đã chạy được đoạn $d$ .

Để bắt kịp rùa thì Achilles phải chạy hết đoạn $d$ . Tuy nhiên rùa đâu có đứng im, mà trong thời gian Achilles chạy hết đoạn $d$ thì rùa chạy được đoạn $d_{1}$ , hay nói cách khác là rùa vẫn hơn Achilles một đoạn $d_{1}$

Tiếp tục để bắt kịp rùa thì Achilles phải chạy hết đoạn $d_{1}$ , rùa cũng đâu phải dạng vừa, trong thời gian Achilles chạy hết đoạn $d_{1}$ thì dù có chậm đi chăng nữa rùa cũng chạy được thêm đoạn $d_{2}$ , nghĩa là vẫn dẫn trước Achilles

Cứ logic như thế, Achilles không thể nào bắt kịp được rùa???

Điều này có vẻ không hợp lý trong thực tế, tuy nhiên vẫn chưa tìm được lỗ hổng trong logic? Có điều gì bí ẩn ở đây?

Ta thử mô phỏng bằng ngôn ngữ Toán

Giả sử đường đua là $100 m$ , vận tốc chạy của Achilles là $A = 8 m / s$ , vận tốc chạy của rùa là $R = 0.8 m / s$ , dễ thấy Achilles chạy nhanh gấp $10$ lần rùa

Giả sử rùa chạy trước được $80 m$ thì Achilles mới bắt đầu chạy

Để chạy hết $80 m$ này Achilles mất hết $10 s$ , cũng trong thời gian $10 s$ đó, rùa đã chạy thêm được $8 m$ nữa.

Để hoàn thành $8 m$ này Achilles phải mất thêm $1 s$ , trong thời gian $1 s$ đó rùa lại chạy được $0.8 m$

Để hoàn thành $0.8 m$ này Achilles lại phải mất $0.1 s$ , và trong thời gian $0.1 s$ đó rùa lại chạy thêm được $0.08 m$

Cứ như thế, Achilles mãi không thể đuổi kịp rùa

Có gì đó không ổn ở đây? Thời gian để Achilles đuổi kịp rùa là

$T (A) = 10 + 1 + 0.1 + 0.01 + \dots$

Đây là tổng vô hạn của các số dương hữu hạn, nghĩa là có vô số các con số dương hữu hạn cộng lại với nhau. Zeno cho rằng tổng này là vô cùng (tức thời gian đuổi kịp rùa là vô cùng) nên chẳng bao giờ Achilles đuổi kịp rùa

Lý luận của Zeno rất giống cái mà Caolac cảm nhận, nghĩa là giờ có mấy cái chút chút, mà vô số cái chút chút gom lại, thật khó để có thể cảm nhận nó là hữu hạn. Đây chính là lỗ hổng lớn trong logic mà điều này hoàn toàn có thể hiểu được khi học xong chương giới hạn của lớp 11. Giờ chấp nhận được điều này, thì cảm nhận về vô cực đã tăng lên một bậc

Ta đã biết $T (A) = 10 + 1 + 0.1 + 0.01 + \dots$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1} = 10$ và công bội $q = \frac{1}{10}$ , do đó

$T (A) = \frac{u_{1}}{1 - q} = \frac{10}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{100}{9}$

Vậy thực ra Achilles chỉ cần mất $\frac{100}{9} s$ để đuổi kịp rùa

Kết luận. Cái sai trong lý luận của Zeno là vô tình công nhận tổng của vô hạn các số dương hữu hạn là vô hạn.

Nghịch lý Galileo

Nhắc tới Galileo chắc chúng ta cũng sẽ liên tưởng tới câu nói “Dù sao Trái Đất vẫn quay”. Ông là một nhà Thiên Văn Học, Vật Lý Học và trong Toán Học ông cũng để lại một nghịch lý thú vị như sau

Chắc ai cũng biết về tập các số tự nhiên $N$ , trong $N$ thỉnh thoảng ta lại gặp một số $b$ là bình phương của một số nào đó, ví dụ số $4$ sẽ bằng $2^{2}$ , số $9$ sẽ bằng $3^{2}$ . Những số này được gọi là những số chính phương. Ta thử sắp xếp như sau

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 …

1     4         9             …

Từ cách sắp xếp này ta cảm thấy dường như các số chính phương sẽ ít hơn các số tự nhiên, điều này cảm giác quá hiển nhiên

Nhưng Galileo bảo “Không”.

Nhiều ánh mắt ngơ ngác, liếc ngang liếc dọc, chau mày có vẻ không phục

Galileo từ từ nhất viên phấn và viết vài dòng lên bảng

1 2 3 4  5  6  7  …

1 4 9 16 25 36 49 …

Cách viết lại này của Galileo cho thấy, cứ bao nhiêu số tự nhiên ở dòng 1 thì có bấy nhiêu số chính phương ở dòng 2! What??? Cái quái gì đang diễn ra thế này? Nghĩa là số các số tự nhiên cũng nhiều bằng số các số chính phương??? Hay nói cách khác là một phần cũng nhiều bằng toàn phần!!!

Nghịch lý Hilbert

Hilbert là nhà Toán Học người Đức, ông được xem là một trong hai nhà Toán Học hàng đầu thế giới trong thời gian đầu thế kỷ 20. Ông có một câu chuyện vui mà được người cùng thời đặt tên là “khách sạn Hilbert”. Câu chuyện về khách sạn Hilbert như sau

Hãy tưởng tượng một khách sạn tên là Vô Cực và có vô số phòng. Một hôm có một người khách thông thái đến thuê phòng.

Người quản lý: “Rất lấy làm tiếc, khách sạn của chúng tôi đã hết phòng”

Người khách nói: “Ơ! Khách sạn có vô số phòng mà! Hãy để tôi sắp xếp”

Người quản lý đồng ý

Người khách đăm chiu một thoáng rồi từ tốn nói: “Khách ở phòng số 1 sẽ sang phòng số 2, khách ở phòng số 2 sẽ sang phòng số 3, khách ở phòng số 3 sẽ sang phòng số 4, …, cứ như thế, vậy là đã dư ra được phòng số 1 cho tôi rồi”

Người quản lý ngơ ngác: “Ừ nhỉ???”

Vì trải nghiệm dịch vụ ở đây khá tốt nên một hôm khác, người khách thông thái này quyết định quay trở lại khách sạn Vô Cực, nhưng lần này ông không đi một mình mà đi với bạn của ông, tuy nhiên số người bạn của ông dẫn đến cũng là vô cùng người bạn.

Lần này quản lý mặc dù rất muốn nhưng nhìn số lượng bạn vô cùng của người khách thông thái nên cũng ngao ngán lắc đầu: “Rất lấy làm tiếc, chúng tôi không còn phòng trống nào cả”

Người khách thông thái cười đáp: “Khách sạn của mình có vô số phòng cơ mà! Hãy để tôi sắp xếp một chút”

Người quản lý hoàn toàn đồng ý

Người khách thông thái tiếp lời: “Vị khách phòng số 1 sẽ chuyển sang phòng số 2, vị khách phòng số 2 sẽ chuyển sang phòng số 4, vị khách phòng số 3 sẽ chuyển sang phòng số 6, …, cứ như thế. Nếu xếp thế này thì tất cả các vị khách đã được chuyển sang phòng số chẵn và tất cả các phòng số lẻ đều trống, nghĩa là sẽ đủ phòng cho tôi và vô cùng người bạn ở đây”

Người quản lý lại ngơ ngác và thực hiện giao phòng, trong miệng thì thầm: “Cái quái gì đang diễn ra vậy? Có gì đó bí ẩn ở đây?”

Cantor người chế ngự Vô Cực

Vẫn là câu hỏi học toán để làm gì? Caolac cũng chẳng biết, tuy nhiên có một điều không thể phủ nhận là bằng những ý tưởng toán học của những bộ óc vĩ đại đã thay đổi cách con người suy nghĩ, thay đổi cách nhìn nhận của con người về thế giới, điển hình như khái niệm vô cùng nhỏ của Leibniz và Newton đã tạo ra phép tính vi tích phân làm phát triển không những toán học mà các Khoa học có liên quan với một tốc độ chóng mặt, từ đó mới có được những sản phẩm mà ta xem như là hệ quả của những ý tưởng. Lý thuyết tập hợp vô hạn của Cantor cũng là một trong số đó, một công trình đột phá của Toán học trong suốt gần 2500 năm lịch sử Toán

Ở phần tiếp theo này, chúng ta cần phải có một chút kiến thức nhất định về ánh xạ, biết được khái niệm ánh xạ một một hay song ánh

Ta bắt đầu với định nghĩa của chính Cantor: Tập hợp được tạo nên bởi vật thể phân biệt mà trực giác hoặc trí tưởng tượng chúng ta có thể hình dung ra

Điều cơ bản mà chúng ta cần quan tâm là kích cỡ của tập hợp và so sánh kích cỡ của hai tập hợp. Ví dụ $A = {a, b, c, d}$ có $4$ phần tử, còn $B = {2; 4; 6; 8; 10}$ có $5$ phần tử. Như vậy $A$ có kích cỡ nhỏ hơn của $B$

Cantor dùng ký hiệu $\overset{―}{\overset{―}{A}}$ để chỉ lực lượng của tập hợp $A$ , tức là số phần tử mà nó chứa. Trong trường hợp như trên ta có

$\overset{―}{\overset{―}{A}} < \overset{―}{\overset{―}{B}}$

Vấn đề đặt ra là nếu tập hợp vô hạn thì sao? Làm sao để đếm hết các phần tử của chúng? Liệu có đếm được không? Mà “đếm” là gì?

Cantor cho ta biết như sau: “Ta nói hai tập $M$ và $N$ tương đương nhau, viết là $M \sim N$ hoặc $N \sim M$ , nếu bằng một cách nào đó, liên kết mỗi phần tử của tập hợp này với một và chỉ một phần tử thuộc tập hợp kia”

Với ngôn ngữ Toán ngày nay thì $M \sim N$ nghĩa là có một song ánh đi từ $M$ vào $N$

Đếm là gì?

Xét tập $M = {a; b; c; d}$ . Ta thiết lập một song ánh đi từ $M$ vào tập $N = {1; 2; 3; 4}$ là một tập con của $N$ . Khi đó ta nói đã đếm tập $M$ và số phần tử của nó là $4$ . Đó là một tập hữu hạn. Vậy tập hợp vô hạn thì sao? Sau đây là khái niệm mở rộng cho tất cả các loại tập hợp

Tập hợp $S$ được gọi là đếm được nếu nó hữu hạn hoặc có một song ánh từ $S$ đến $N$

Tập hợp $S$ là không đếm được nếu nó không phải là tập hợp đếm được

Theo như định nghĩa ở trên thì $N$ là tập đếm được vì dễ dàng thấy song ánh

$f : N \to N; f (n) = n$

Điều thú vị ở đây là tập hợp các số tự nhiên chẵn $E$ là một tập con thực sự của $N$ cũng là vô hạn đếm được nhờ song ánh $f (n) = 2 n$ , nghĩa là $E \sim N$ . Tương tự tập các số tự nhiên lẻ cũng vô hạn đếm được. Điều này giải thích được nghịch lý của Galileo và nghịch lý của Hilbert

Năm 1888, Dedekind, một người bạn của Cantor dùng nội dung trên để đưa ra định nghĩa về tập hợp vô hạn

“Một tập hợp là vô hạn khi nó tương đương với một tập con thực sự của nó. Trong trường hợp ngược lại thì tập đó là hũu hạn”

Bây giờ ta thử với các tập thông dụng mà ta hay gặp

Tập số nguyên $Z$ . Nó là loại gì? So với $N$ thì rõ ràng $Z$ chứa $N$ . Nhưng Cantor chứng minh được rằng $Z \sim N$ , nghĩa là phải xây dựng được một song ánh từ $Z$ vào $N$