full-cong-thuc-12-code-cu

FULL CÔNG THỨC TOÁN 12

Bài viết tổng hợp lại các công thức hay sử dụng trong chương trình toán 12 để dễ dàng học tập và tra cứu

---

GÕ TÊN CÔNG THỨC BẠN MUỐN TÌM KIẾM

CÔNG THỨC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

ĐỊNH LÍ SIN LỚP 10

ĐỊNH LÍ COSIN LỚP 10

CÔNG THỨC TRUNG TUYẾN LỚP 10

CÔNG THỨC DIỆN TÍCH TAM GIÁC LỚP 10

CÔNG THỨC HERON DIỆN TÍCH TAM GIÁC LỚP 10

HỆ QUẢ ĐỊNH LÍ COSIN LỚP 10

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

CÔNG THỨC KHOẢNG BIẾN THIÊN CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM (LỚP 12)

CÔNG THỨC KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM (LỚP 12)

CÔNG THỨC PHƯƠNG SAI CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM (LỚP 12)

CÔNG THỨC ĐỘ LỆCH CHUẨN CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM (LỚP 12)

VÉCTƠ KHÔNG GIAN

CÔNG THỨC TOẠ ĐỘ VÉCTƠ

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

CÔNG THỨC CƠ BẢN LƯỢNG GIÁC

CÔNG THỨC COS ĐỐI LƯỢNG GIÁC

CÔNG THỨC SIN BÙ LƯỢNG GIÁC

CÔNG THỨC PHỤ CHÉO LƯỢNG GIÁC

CÔNG THỨC HƠN KÉM PI LƯỢNG GIÁC

CÔNG THỨC CỘNG LƯỢNG GIÁC

CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI LƯỢNG GIÁC

CÔNG THỨC LIÊN HỆ ĐỘ VÀ RADIAN LƯỢNG GIÁC

CÔNG THỨC HẠ BẬC LƯỢNG GIÁC

CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH LƯỢNG GIÁC

CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG LƯỢNG GIÁC

CÔNG THỨC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

CÔNG THỨC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

PHƯƠNG TRÌNH $a\sin x+b\cos x=c$ (LƯỢNG GIÁC)

CÔNG THỨC HÀM SỐ BẬC BA

CÔNG THỨC SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI

CÔNG THỨC CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP TÌM MIN MAX BẰNG TABLE

DÁNG ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ CƠ BẢN

CÔNG THỨC TỊNH TIẾN ĐỒ THỊ

PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC

TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM MŨ

CÔNG THỨC LOGARIT CƠ BẢN

CÔNG THỨC LOGARIT

PHƯƠNG TRÌNH MŨ

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

HÀM ĐẶC TRƯNG PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG

CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

CÔNG THỨC CHE NGUYÊN HÀM

LÃI ĐƠN – LÃI SUẤT

LÃI KÉP – LÃI SUẤT

LÃI KÉP LIÊN TỤC – LÃI SUẤT

BÀI TOÁN TRẢ GÓP – LÃI SUẤT

BÀI TOÁN GỬI TIẾT KIỆM – LÃI SUẤT

BÀI TOÁN TĂNG LƯƠNG – LÃI SUẤT

SỐ PHỨC

DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

CÔNG THỨC MOA VƠ (MOIVRE)

CÁC KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

CÔNG THỨC THỂ TÍCH CHÓP

CÔNG THỨC TỶ SỐ THỂ TÍCH CHÓP (TỈ SỐ THỂ TÍCH CHÓP)

CÔNG THỨC HÌNH NÓN

CÔNG THỨC HÌNH TRỤ

CÔNG THỨC HÌNH CẦU

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

BÀI TOÁN TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

---

CÔNG THỨC LOGARIT CƠ BẢN

${\displaystyle {\log }_{a}b=\alpha \iff b=a^{\alpha }}$

${\displaystyle {\log }_{a}1=0}$

${\displaystyle {\log }_{a}a=1}$

${\displaystyle {\log }_a{a}^b=b}$

${\displaystyle a^{{\log }_{a}b}=b}$

---

CÔNG THỨC LOGARIT

${\displaystyle {\log }_a(bc)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c}$

${\displaystyle {\log }_a\left(\frac{b}{c}\right)={\log }_{a}b-{\log }_{a}c}$

${\displaystyle {\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}b}$

${\displaystyle {\log }_{a^{\alpha }}b=\frac{1}{\alpha }{\log }_{a}b}$

${\displaystyle {\log }_a\left(\frac{1}{b}\right)=-{\log }_{a}b}$

${\displaystyle {\log }_a\left(\sqrt[n]{b}\right)=\frac{1}{n}{\log }_{a}b}$

${\displaystyle {\log }_{a}b{\log }_{b}c={\log }_{a}c}$

${\displaystyle {\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}}$

${\displaystyle {\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}}$

---

CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

${\displaystyle \int 0dx=C}$

${\displaystyle \int 1dx=x+C}$

${\displaystyle \int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,(n\ne -1)}$

${\displaystyle \int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C}$

${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+C}$

${\displaystyle \int \frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C}$

${\displaystyle \int e^{x}dx=e^x+C}$

${\displaystyle \int \sin xdx=-\cos x+C}$

${\displaystyle \int \cos xdx=\sin x+C}$

${\displaystyle \int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C}$

${\displaystyle \int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C}$

---

CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG

${\displaystyle \int {(ax+b)}^{n}dx=\frac{1}{a}\cdot \frac{{(ax+b)}^{n+1}}{n+1}+C}$

${\displaystyle \int \frac{1}{ax+b}dx=\frac{1}{a}\ln |ax+b|+C}$

${\displaystyle \int e^{ax+b}dx=\frac{1}{a}{e}^{ax+b}+C}$

${\displaystyle \int \cos (ax+b)dx=-\frac{1}{a}\sin (ax+b)+C}$

${\displaystyle \int \cos (ax+b)dx=\frac{1}{a}\sin (ax+b)+C}$

${\displaystyle \int \frac{1}{{\cos }^2(ax+b)}dx=\frac{1}{a}\tan (ax+b)+C}$

${\displaystyle \int \frac{1}{{\sin }^2(ax+b)}dx=-\frac{1}{a}\cot (ax+b)+C}$

---

CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

$$\int udv=uv-\int vdu$$

---

LÃI ĐƠN – LÃI SUẤT

$$S_n=A(1+nr)$$

---

LÃI KÉP – LÃI SUẤT

$$S_n=A{(1+r)}^n$$

---

LÃI KÉP LIÊN TỤC – LÃI SUẤT

$$S_n=A{e}^{nr}$$

---

BÀI TOÁN TRẢ GÓP – LÃI SUẤT

$$S_n=A{(1+r)}^n-\frac{X}{r}[{(1+r)}^n-1]$$

Trong đó $X$ là số tiền trả mỗi tháng

---

BÀI TOÁN GỬI TIẾT KIỆM – LÃI SUẤT

Gửi đầu tháng

$$S_n=\frac{X}{r}[{(1+r)}^n-1](1+r)$$

Trong đó $X$ là số tiền gửi mỗi tháng

Gửi cuối tháng

$$S_n=\frac{X}{r}[{(1+r)}^n-1]$$

Trong đó $X$ là số tiền gửi mỗi tháng

---

BÀI TOÁN TĂNG LƯƠNG – LÃI SUẤT

$$S_n=\frac{At}{r}[{(1+r)}^k-1]$$

Trong đó $t$ là số tháng trong một bậc lương và $k$ là số bậc lương

---

SỐ PHỨC

Dạng

$$z=a+bi,(a,b\in \mathbb{R})$$

Số thuần ảo

Khi phần thực $a=0$ thì số phức có dạng $z=bi$ gọi là số thuần ảo

Hai số phức bằng nhau

Cho $z_1=a_1+b_{1}i;z_2=a_2+b_{2}i$. Khi đó

$$z_1=z_2\iff \{\begin{array}{rl}& a_1=a_2\\ & b_1=b_2\end{array}$$

số phức liên hợp

Cho số phức $z=a+bi$ thì số phức liên hợp của $z$ là $\bar{z}=a-bi$

Mô đun của số phức

Cho số phức $z=a+bi$. Khi đó mô đun của số phức $z$ là

$$\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}$$

Căn bậc hai số phức

Cho số phức $w=a+bi$, mỗi số phức $z$ thoả mãn $z^2=w$ gọi là một căn bậc hai của số phức $w$

Để tìm số phức $z=x+yi$ ta đi giải hệ phương trình sau

$$\{\begin{array}{rl}& x^2-y^2=a\\ & 2xy=b\end{array}$$

---

DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

$$z=r(\cos \phi +i\sin \phi ),(r>0)$$

---

CÔNG THỨC MOA VƠ (MOIVRE)

$${(\cos \phi +i\sin \phi )}^n=\cos n\phi +i\sin n\phi$$

---

CÔNG THỨC HÌNH TRỤ

Diện tích xung quanh

$$S_{xq}=2\pi rl$$

Diện tích đáy

$$S_{day}=2\pi r^2$$

Diện tích toàn phần

$$S_{tp}=S_{xq}+S_{day}=2\pi rl+2\pi r^2$$

Thể tích hình trụ

$$V_{tru}=S_{day}h=\pi r^{2}h$$

---

CÔNG THỨC HÌNH CẦU

Diện tích mặt cầu

$$S=4\pi R^2$$

Thể tích khối cầu

$$V=\frac{4}{3}\pi R^3$$

---

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $M(x_0;y_0;z_0)$ và có VTPT $\overrightarrow{n}=(A;B;C)\ne \overrightarrow{0}$ có phương trình tổng quát là

$$(P):A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Phương trình mặt phẳng $(P)$ qua 3 điểm $A(a;0;0);B(0;b;0);C(0;0;c)$ có phương trình là

$$(P):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$

Một số mặt phẳng đặc biệt cần nhớ

$(Oxy):z=0$

$(Oyz):x=0$

$(Oxz):y=0$

---

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Mặt cầu tâm $I(a;b;c)$ và có bán kính $R$ có phương trình là

$$(S):{(x-a)}^2+{(y-b)}^2+{(z-c)}^2=R^2$$

Ngoài ra mặt cầu còn có thể viết dưới dạng 2 như sau

$$(S):x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$$ với điều kiện $a^2+b^2+c^2-d>0$

Có tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$

---

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Phương trình tham số của đường thẳng

Phương trình tham số của đường thẳng $d$ qua $M(x_0;y_0;z_0)$ và có VTCP $\overrightarrow{n}=(a;b;c)\ne \overrightarrow{0}$ có dạng

$$d:\{\begin{array}{rl}& x=x_0+at\\ & y=y_0+bt\\ & z=z_0+ct\end{array}$$

Phương trình chính tắc đường thẳng

Phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ qua $M(x_0;y_0;z_0)$ và có VTCP $\overrightarrow{n}=(a;b;c),abc\ne 0$ có dạng

$$d:\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$$

---

KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Cho $M(x;y;z)$ và đường thẳng $d$ có VTCP là $\overrightarrow{u}=(a;b;c)$. Lấy một một điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ tuỳ ý thuộc đường thẳng $d$. Khi đó công thức tính khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $d$ được tính theo công thức sau

$$d(M;d)=\frac{\left|[\overrightarrow{M{M}_0};\overrightarrow{u}]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}$$

---

KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

Cho hai đường thẳng $d_1;d_2$ chéo nhau lần lượt có VTCP là $\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}$. Gọi $M_1;M_2$ lần lượt là hai điểm thuộc $d_1;d_2$. Khi đó khoảng cách giữa $d_1;d_2$ được tính theo công thức sau

$$d(d_1;d_2)=\frac{\left|\overrightarrow{M_1{M}_2}[\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}]\right|}{\left|[\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}]\right|}$$

---

GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Cho ${\displaystyle d_1\{\begin{array}{l}x=x_1+a_{1}t\\ y=y_1+b_{1}t\\ z=z_1+c_{1}t\end{array}}$ và ${\displaystyle d_2\{\begin{array}{l}x=x_2+a_{2}t\\ y=y_2+b_{2}t\\ z=z_2+c_{2}t\end{array}}$

$d_1$ có VTCP $\overrightarrow{u_1}$ và $d_2$ có VTCP $\overrightarrow{u_2}$

Khi đó góc giữa $d_1$ và $d_2$ được tính theo công thức

$$\cos (d_1,d_2)=\frac{|\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}|.|\overrightarrow{u_2}|}$$

---

GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$

$d$ có VTCP $\overrightarrow{u}$ và mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\overrightarrow{n}$

Khi đó góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ được xác định bởi

$$\cos (d,P)=\frac{|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{n}|}$$

---